A continuación, se presentan algunos ejemplos en diversos contextos prácticos de modelos matemáticos de tiempo continuo no lineales de orden mayor que uno de sistemas dinámicos en variables de estado y con al menos una entrada.
Ideas generales
Si se va a utilizar uno de estos modelos para una práctica o proyecto es necesario hacer lo siguiente:
Identificar y comprender la ecuación de estado: en un artículo pueden aparecer varios modelos y es necesario seleccionar sólo uno.
Identificar que cumpla con las características especificadas: ecuación diferencial ordinaria o ecuación de estado, no lineal, tiempo continuo, orden mayor o igual a dos)
Identificar o definir claramente la variable de entrada. Si el modelo no tiene entrada se puede adicionar una entrada de la siguiente manera: a) adicionando una entrada a una ecuación, lo cual corresponde a una tasa; b) convirtiendo un parámetro constante en una entrada: a→a+u(t). Si el modelo no es estable se debe identificar el subsistema que permita estabilizarlo o hacer pruebas con señales de entrada adecuadas.
Comprender el significado y valores factibles de cada parámetro y variable de estado y entrada (con sus unidades de medición)
Seleccionar la salida (variable de interés) entre todas las variables de estado
Interpretar el comportamiento básico del modelo: uso, suposiciones, limitaciones, alcance, características.
Conversar con un experto para garantizar que se tiene un modelo viable (ni tan simple ni tan complejo). En el documento de Casos de estudio se dan ejemplos de cómo abordar el estudio de estos sistemas dinámicos.
Modelos matemáticos
Reacción química de Belousov–Zhabotinski. En: Stephen Lynch. Dynamical Systems with Applications using Matlab. Sección 14.4.III.
Péndulo invertido. Ecuaciones 3 y 6. Se puede trabajar el problema de la grúa (punto de equilibrio inferior estable) o el problema del péndulo invertido (punto de equilibrio superior inestable).
Un tipo de sistema financiero no lineal con comportamiento caótico. Ecuación (1).
Sistema de una sola especie en un ambiente contaminado.. Ecuación (2.1).
Modelo presa-depredador de Holling–Tanner. En: Stephen Lynch. Dynamical Systems with Applications using Matlab. Ejemplo 3, página 213.
Modelo presa-depredador con depredadores enfermos. Ecuación (2).
Modelo presa-depredador con refugio de presas e infección de depredadores. Ecuación (2).
Modelo realista de depredación. En: La matemática de los sistemas biológicos. Sección 2.3. Ecuaciones (2.32) y (2.33).
Destrucción del hábitat. En: La matemática de los sistemas biológicos. Sección 2.4. Ecuaciones (2.50) a (2.52).
Competencia cíclica. En: La matemática de los sistemas biológicos. Sección 2.6. Ecuaciones (2.87) a (2.89).
Modelo de pesca con áreas de reserva. Ecuaciones (3.1) a (3.4).
Modelo epidemiológico SIRD. En Compartmental models in epidemiology. Modelo de orden cuatro.
Modelo epidemiológico SIRV. En Compartmental models in epidemiology.
Modelo epidemiológico MSIR. En Compartmental models in epidemiology.
Modelo epidemiológico SEIR. En Compartmental models in epidemiology.
Modelo epidemiológico SEIS. En Compartmental models in epidemiology.
Modelo epidemiológico MSEIR. En Compartmental models in epidemiology.
Modelo de vacunación durante la propagación de enfermedades epidemiológicas. En Compartmental models in epidemiology.
Modelo epidemiológico SIR con vacunados. Ecuación (8). En: Dynamics of infectious diseases. Sección 2.5.
Modelo epidemiológico del VIH. Ecuación (3).
Un modelo simple de transmisión de enfermedades sexuales. Corregir la ecuación para dX/dt: el último término para νY es positivo y no negativo.
Las matemáticas del chisme. Ver (i) La inoculación psicológica mejora la resiliencia frente a la desinformación en las redes sociales. (ii) Epidemiology models explain rumour spreading during France’s Great Fear of 1789.
Efecto de la quimioterapia en el crecimiento de tumores con consideración de la dinámica de la droga. Ecuación 2.5.
Un modelo matemático sobre bacterias sensibles y resistentes a antibióticos. Ecuación (1).
Tolerancia a la glucosa. Dos primeras ecuaciones del artículo, con I(t) igual a la entrada del modelo. La tercera ecuación corresponde a un controlador. Los parámetros deben obtenerse de otros artículos.
Modelación de una población de peces de tres especies en la Bahía de Chesapeake.
Modelo de FitzHugh–Nagumo de una neurona. Más información en este enlace (ecuaciones 3a y 3b).
Modelo de una membrana nerviosa. Ecuaciones (1) y (2).
Modelo de circulación atmosférica Lorenz-84. Ecuación (1).
Modelamiento matemático de la fiebre amarilla: un modelo con migración
Estudio de un modelo predador-presa con tres especies y capacidad de carga variable
Agrupamiento de presas como medida de contraataque contra los depredadores
Papel de las células madre cancerosas en el crecimiento del cáncer
Modelo de Goodwin del Ciclo Económico. Más información: 1, 2, 3
Modeling the Dynamics of Glacial Cycles (Modelado de la dinámica de los ciclos glaciares)
Mathematics of Malaria and Climate Change (Matemáticas de la malaria y el cambio climático)
A Risk-Structured Mathematical Model of Buruli Ulcer Disease in Ghana (Un modelo matemático estructurado por riesgo de la enfermedad de úlcera de Buruli en Ghana)
Un enfoque novedoso para controlar la propagación de un rumor dentro de una multitud
Modelo de noticias maliciosas difundidas en redes sociales con cuentas ocultas
Modelo matemático de la dinámica intrahuésped de la infección por el parásito de la malaria
Modelo SIS-epidémico con la tasa de infección de Beddington-DeAngelis
Infección por rotavirus en niños amamantados y no amamantados
Modelado matemático de un sistema ecoepidemiológico sometido al efecto Allee y competencia
Impacto del flujo del viento y el calentamiento global en la dinámica del modelo presa-depredador
Modelado matemático de la propagación de la viruela aviar en las aves de corral
Un modelo matemático de la rivalidad entre bandas criminales
Modelo de cultivo, plaga y depredación en un sistema agrícola
Modelo de desertificación a partir del calentamiento global y los contaminantes del polvo
Modelo del impacto de las tormentas de polvo en la biomasa vegetal
Otras fuentes de modelos
Bürger, R. Introducción al Modelamiento en Biomatemática. 2012.
Elizabeth S. Allman, John A. Rhodes. Mathematical models in biology - An introduction. 2003.
Navas, J. Modelos matemáticos en biología. Universidad de Jaén. 2009.
Joseph J. DiStefano. Dynamic systems biology modeling and simulation. 2013.
Matthias Ruth, Bruce Hannon. Modeling Dynamic Biological Systems. 1997.
Brauer F. et al. Modelos de la propagación de enfermedades infecciosas. 2014.
Weijiu Liu. Introduction to Modeling Biological Cellular Control Systems. 2012
Oliveira, M. The Lotka-Volterra Equations in Finance and Economics. 2017.
Prompt de IA para la búsqueda de modelos
Nota (no poner en el prompt): se puede ajustar este prompt y hacer luego más preguntas para precisar mejor el modelo seleccionado a partir de los propuestos por la IA. En ocasiones se obtienen modelos no adecuados o la referencia bibliográfica no existe.
Contexto: Soy un estudiante de quinto semestre de ingeniería que debe seleccionar un modelo matemático determinístico (no estocástico) de tiempo continuo no lineal en variables físicas de estado de orden mayor o igual que dos y menor o igual que cuatro. Me interesan modelos en las siguientes áreas del conocimiento: economía, finanzas, biología o epidemiología.
Task: Te pido me des dos modelos matemáticos de cada una de las áreas de mi interés. Las ecuaciones deben ser en derivadas ordinarias y no deben contener derivadas parciales. Si los modelos anteriores no tienen entrada (término independiente manipulable), adicionar una entrada en cada caso a una de las ecuaciones.
Output: De cada modelo debes indicarme: 1) ecuaciones del modelo en variables de estado; 2) cuáles son las variables de estado con su nombre y unidades de medición; 3) cuáles son los parámetros (constantes del modelo) con su nombre, unidades de medición, un valor típico y un intervalo para otros valores; 4) significado de la entrada y valores factibles; 5) cuáles son las suposiciones y limitaciones del modelo; 6) para qué se usa el modelo; 7) hiperenlace y referencia bibliográfica para consultar más del modelo.