Prácticas propuestas de sistemas dinámicos, estimación y control
Uso de MATLAB u otras herramientas
A continuación, se formulan algunas prácticas para realizar utilizando MATLAB con el fin de aplicar las ideas y métodos presentados en el libro de Sistemas Dinámicos en Contexto a un modelo matemático no lineal en variables de estado de un sistema dinámico real dado en la bibliografía científica. Ver los ejercicios resueltos y casos de estudio para entender la mejor la forma de entregar el informe.
En todos los casos, se debe seleccionar un sistema dinámico no lineal en variables de estado, de orden dos o mayor, y con entrada. Si el modelo no tiene entrada, se debe adicionar una de alguna de las siguientes maneras: (i) agregando u(t) a una de las ecuaciones (la que tenga más sentido); (ii) convirtiendo un parámetro θ en entrada en la forma θ + u(t).
El informe se debe presentar como un archivo Live Script de MATLAB en el formato IMRAD, el cual incluye las siguientes secciones:
Introducción: descripción del problema, preguntas a responder.
Métodos: pasos específicos ordenados para la solución del problema, detalles del experimento (modelo matemático, valor de los parámetros, detalles del programa de MATLAB, etc.).
Resultados: figuras y tablas sin interpretación, sólo con descripción de los detalles importantes.
Discusión: interpretación resumida de los resultados con base en la teoría (el porqué), referencia del número de la figura o tabla, un párrafo por resultado, razones por las cuales un resultado parece correcto.
Referencias bibliográficas.
1. Modelación y simulación de un sistema dinámico no lineal
Simular el modelo de un sistema dinámico para comprender su comportamiento ante cambios de su entrada, condiciones iniciales y parámetros.
Resultados a presentar:
Modelo del sistema: el modelo debe permitir el cambio de los parámetros y condiciones iniciales (con nombres, variables y unidades), y debe ser legible y estar debidamente documentado. Si hay mucha diferencia entre los valores de las variables es necesario normalizar o escalar las variables del modelo (dividir por el valor máximo esperado).
Verificación del modelo: gráficos con la comparación con información conocida de la bibliografía. En caso de no haber gráficos de apoyo en los artículos para la validación, se puede recurrir a la simulación de casos particulares y su contraste con lo que se afirma en la bibliografía. No continuar hasta estar seguro de que el modelo es correcto.
Simulación del sistema y gráficos de la respuesta temporal con tres tipos de entradas: constante (escalón), sinusoide y pulso.
Simulación con el cambio de dos parámetros: (a) dos gráficos con la respuesta temporal de la salida ante cinco cambios de cada parámetro, (b) dos tablas con la información de tres características de la respuesta temporal en función de cinco cambios de cada parámetro (en la primera columna están los valores del parámetro y en las tres columnas restantes están los valores de cada característica), (c) dos gráficos correspondientes a las tablas anteriores (característica contra el valor del parámetro).
2. Análisis de sensibilidad e incertidumbre
Realizar un análisis de sensibilidad e incertidumbre de un sistema dinámico utilizando la herramienta Global sensitivity and uncertainty analysis (GSUA).
Resultados a presentar:
Análisis de incertidumbre: gráfico del análisis de incertidumbre de la respuesta temporal nominal del sistema con todos los factores (parámetros y condiciones iniciales) del modelo del proceso. Determinar el porcentaje máximo de variación única de los factores tal que las respuestas temporales no se alejen demasiado de la nominal (si se alejan demasiado el análisis de incertidumbre no tiene sentido).
Análisis de sensibilidad escalar de ajuste a la salida nominal: gráficos con los índices de sensibilidad de primer orden y total. Repetir el análisis de incertidumbre si se fija el factor con mayor índice de sensibilidad.
Análisis de sensibilidad escalar de una característica de la respuesta temporal: gráfico con los índices de sensibilidad de primer orden y total. Posibles características temporales: valor máximo o sobreimpulso máximo, tiempo de pico, tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, valor final, área bajo la curva, etc.
3. Análisis de un sistema dinámico no lineal
Realizar el análisis de un sistema dinámico no lineal entregando los cálculos analíticos siempre que sea posible, así se verifiquen también con MATLAB.
Resultados a presentar:
Puntos de equilibrio y curva de linealidad: (1a) cálculo analítico de los puntos de equilibrio para un valor constante de la entrada (si no es posible, explicar la razón), (2) curva de linealidad con el cálculo numérico de los puntos de equilibrio para diferentes valores constantes de la entrada, (3) curva de linealidad por simulación de los puntos de equilibrio para diferentes valores constantes de la entrada.
Linealización: (1) modelo lineal en variables de estado incrementales obtenido por linealización analítica en un punto de equilibrio de interés, (2) gráficos con la comparación en simulación de la respuesta temporal del modelo lineal y la del modelo no lineal con valores de la entrada cerca y lejos del punto de operación para dos tipos de entrada (constante y seno centrado en el punto de equilibrio).
Estabilidad y control: (1) cálculo de la ecuación de estado en lazo cerrado con el modelo lineal obtenido previamente y un controlador de realimentación del estado (matriz K =[k1 k2 ⋯ kn]) o de otro tipo con parámetros ajustables; (2) cálculo del intervalo de cada valor de la matriz K que permite (o conserva) la estabilidad del sistema en lazo cerrado a partir del método de Routh-Hurwitz (si el problema no tiene solución se recomienda determinar la controlabilidad del modelo para ver si ese es el problema), (3) gráficos de la respuesta temporal en lazo cerrado utilizando el modelo no lineal y utilizando valores de K por dentro y fuera del rango de estabilidad (si el problema no tiene solución, dar los gráficos con cualquier valor de ki y analizar el resultado).
Análisis de sensibilidad e incertidumbre utilizando la herramienta Global sensitivity and uncertainty analysis (GSUA): (1) gráfico del análisis de incertidumbre de la respuesta temporal nominal del sistema con todos los factores del modelo del proceso, (2) gráficos con los índices de sensibilidad de primer orden y total.
4. Control de un sistema dinámico no lineal
Realizar el control de un sistema dinámico no lineal, entregando los cálculos analíticos siempre que sea posible, así se verifiquen también con MATLAB.
Resultados a presentar:
Linealización: (1) gráfico de la curva de linealidad con los puntos de equilibrio para diferentes entradas, obtenidos de manera numérica o analítica; (2) gráfico de la curva de linealidad a partir de la simulación con una entrada tipo escalera; (3) modelo lineal en variables de estado obtenido por linealización analítica en un punto de equilibrio de interés; (4) gráficos con la comparación en simulación de la respuesta temporal del modelo lineal y la del modelo no lineal con valores de la entrada cerca y lejos del punto de operación para dos tipos de entrada (constante y seno centrado en el punto de equilibrio).
Sistema de control continuo de realimentación del estado: (1) análisis de controlabilidad, (2) diseño del controlador con MATLAB, (3) gráficos con la respuesta temporal en lazo cerrado utilizando el modelo no lineal y el control diseñado.
Análisis de sensibilidad e incertidumbre con la herramienta Global sensitivity and uncertainty analysis (GSUA): (1) gráfico del análisis de incertidumbre de una respuesta temporal nominal del sistema con todos los parámetros del modelo del proceso, (2) gráficos con los índices de sensibilidad de primer orden y total.
5. Identificación de sistemas
Realizar la identificación de un sistema dinámico no lineal con ruido en un punto de equilibrio con métodos lineales por medio del System Identification Toolbox de MATLAB.
Resultados a presentar:
Datos experimentales sintéticos: (1) curva de linealidad “experimental” a partir de la simulación con una entrada tipo escalera; (2) punto de equilibrio de interés (punto de operación); (3) período de muestreo calculado a partir del tiempo de crecimiento de la respuesta temporal con una entrada constante; (4) gráfico de los datos de la entrada y salida para la estimación con una señal de entrada PRBS centrada en el punto de equilibrio, con una amplitud dentro del rango de linealidad y un período base igual al período de muestreo; (5) gráfico de los datos de la entrada y salida para la validación con una señal de entrada constante (escalón sin retardo) que parte del punto de equilibrio y no se sale del rango de linealidad, para lo cual es necesario quitar el valor inicial para importar la señal en el SITB y no remover la media en el SITB (el tiempo máximo de la simulación debe ser tal que muestre la estabilización de la respuesta temporal y un poco más); (6) gráfico de los datos de la entrada y salida para la validación con una señal de entrada sinusoidal centrada en el punto de equilibrio, con una amplitud dentro del rango de linealidad, una frecuencia baja y unas dos oscilaciones completas (la media se puede remover en el SITB o antes). No se deben utilizar en la discusión los parámetros verdaderos conocidos del modelo (en un sistema real no se conocen), al menos que se esté analizando un aspecto teórico.
Identificación con el SITB: (1) archivo del SITB; (2) pantallazo legible de la interfaz gráfica del SITB con todos los datos y resultados; (3) gráfico de la selección del retardo; (4) gráfico de la selección del orden; (5) gráfico de validación de las salidas temporales con porcentaje de ajuste (aunque se hayan realizado muchas pruebas presentar los resultados con las estructuras más representativas); (6) gráfico de validación del análisis residual con las estructuras más representativas; (7) gráfico de validación con la entrada escalón sin retardo (constante) y las estructuras más representativas; (8) gráfico de validación con la entrada constante (escalón sin retardo) y las estructuras más representativas; (9) gráfico de comparación con el modelo por el método de correlación (porcentaje de ajuste, análisis residual y respuesta transitoria)
Análisis de sensibilidad e incertidumbre con la herramienta Global sensitivity and uncertainty analysis (GSUA): (1) gráfico del análisis de incertidumbre de la respuesta temporal nominal del sistema con todos los parámetros estimados e intervalos de confianza del modelo; (2) gráficos con los índices escalares de sensibilidad de primer orden y total, (3) cálculo del porcentaje máximo de variación única de los parámetros del sistema que no permite que las respuestas temporales se alejen más del 20% de la nominal.
Documentación del mejor modelo: mejor modelo estimado con la especificación del período de muestreo, parámetros estimados, intervalos de confianza de cada parámetro (con un error absoluto con una sola cifra significativa) y razones para su selección. Formato de cada parámetro: a±Δa (ε %).
6. Estimación de parámetros con modelos caja gris
Estimar los parámetros del modelo no lineal de un sistema dinámico con ruido utilizando el System Identification Toolbox de MATLAB.
Resultados a presentar:
Datos experimentales sintéticos: (1) período de muestreo calculado a partir del tiempo de crecimiento de la respuesta temporal con una entrada constante (no es necesario calcularlo nuevamente si se ya se conoce); (2) gráfico de los datos de la entrada y salida con una señal de entrada RBS, PRBS o escalonada centrada en el punto de equilibrio ubicado en la mitad de la curva de linealidad, con una amplitud que cubra un rango no lineal (sin llegar a saturaciones o comportamientos extraños de las variables de estado), período base de unas 20 o más veces el período de muestreo (no se deben remover los valores medios (esta señal es usada para la estimación y la validación); (3) gráfico de los datos de la entrada y salida con una señal de entrada constante (escalón sin retardo) utilizada para la validación y que parte de un punto de equilibrio, con una amplitud que cubre un rango no lineal (sin llegar a saturaciones o comportamientos extraños) y con un tiempo máximo que muestre la estabilización de la respuesta temporal y un poco más (no se deben remover los valores medios; (4) gráfico de los datos de la entrada y salida con una señal de entrada sinusoidal utilizada para la validación y centrada en un punto de equilibrio, con una amplitud que cubra un rango no lineal (sin llegar a saturaciones o comportamientos extraños de las variables de estado), con una frecuencia baja y con tres oscilaciones completas (no se deben remover los valores medios). No se deben utilizar en la discusión los parámetros verdaderos conocidos del modelo (en un sistema real no se conocen), al menos que se esté analizando un aspecto teórico.
Estimación de dos parámetros con el método de búsqueda exhaustiva: (1) código documentado de MATLAB; (2) gráfico 3D de la función de coste en función de valores de dos parámetros; (3) dos gráficos 2D de los cortes transversales del gráfico anterior; (4) valor de los parámetros estimados.
Estimación de todos los parámetros: (1) archivo del modelo (*.m); (2) gráficos de validación con tres entradas, (3) gráfico del análisis residual, (4) valor de los parámetros estimados y sus desviaciones estándar en el formato correcto.
Análisis de sensibilidad e incertidumbre con la herramienta Global sensitivity and uncertainty analysis (GSUA): (1) gráfico del análisis de incertidumbre de la respuesta temporal nominal del modelo, (2) gráficos con los índices de sensibilidad de primer orden y total con todos los factores del modelo del proceso y sus respectivas desviaciones estándar, (3) cálculo del porcentaje máximo de variación única de los parámetros del sistema que no permite que las respuestas temporales se alejen más del 20% de la nominal.
7. Filtro de Kalman
Diseñar un filtro de Kalman extendido (EKF) y un filtro de Kalman conjunto (JKF) para el modelo no lineal de un sistema dinámico con ruido utilizando MATLAB.
Resultados a presentar:
Datos experimentales sintéticos: (1) período de muestreo calculado a partir del tiempo de crecimiento de la respuesta temporal con una entrada constante (no es necesario calcularlo nuevamente si se ya se conoce); (2) gráfico de los datos de la entrada y salida con una señal de entrada RBS, PRBS o escalonada centrada en el punto de equilibrio en la mitad de la curva de linealidad, con una amplitud que cubra un rango no lineal (sin llegar a saturaciones o comportamientos extraños de las variables de estado), de baja frecuencia para poder observar un cambio lento (unas 20 o más veces el período de muestreo). No se deben utilizar en la discusión los parámetros verdaderos conocidos del modelo (en un sistema real no se conocen), al menos que se esté analizando un aspecto teórico.
Filtro extendido de Kalman (EKF) para la estimación del estado con un error del 10 % (la mitad menores y la otra mitad mayores a los verdaderos): (1) cálculo de las ecuaciones del filtro con la medición de una sola variable de estado (la salida); (2) código documentado del filtro; (3) gráfico de los estados estimados con los intervalos de confianza y comparación con los estados verdaderos; (4) gráfico con el número de condición de la matriz de observabilidad (si el modelo es no observable, repetir todo midiendo dos variables de estado; si el número de condición de la matriz de observabilidad es muy alto, explicar las consecuencias), traza de la matriz de covarianzas y norma de la ganancia de Kalman; (5) gráfico de la prueba de blancura.
Filtro de Kalman conjunto (JKF) aplicado a la estimación del estado y un parámetro: (1) cálculo de las ecuaciones del filtro con la medición de una sola variable de estado (la salida); (2) código documentado del filtro; (3) gráfico de los estados estimados con los intervalos de confianza y comparación con los estados verdaderos; (4) gráfico con el número de condición de la matriz de observabilidad (si el modelo es no observable, repetir todo midiendo dos variables de estado; si el número de condición de la matriz de observabilidad es muy alto, explicar las consecuencias), traza de la matriz de covarianzas y norma de la ganancia de Kalman; (5) gráfico de la prueba de blancura.
Análisis de sensibilidad e incertidumbre con la herramienta Global sensitivity and uncertainty analysis (GSUA): (1) gráfico del análisis de incertidumbre de la respuesta temporal experimental del sistema con el filtro de Kalman para la estimación del estado y todos los parámetros del modelo; (2) gráficos con los índices de sensibilidad de primer orden y total; (3) cálculo del porcentaje máximo de variación única de los parámetros del modelo que no permite que las respuestas temporales estimadas se alejen más del 20 % de la respuesta nominal.